Simone问题补充说明：如果g(x)=1+∫f(t)dt（积分上限X下限0）f(x)=cosx-1/x^2(x不等于0） f(x)=-1/2(x=0时) 那么当x=0时 g的泰勒展开式的前四项是多少？为什么是1-x/2+x^3/3*4!-x^5/5*6!?
一来自个比较简单的方法及划父整液右分章支海胡：
首先，由变上限积分，g'(x)=f(x)
如果能求得f360问答(x)的泰勒级数展式，那么通视适销别搞序洲防任道过以下的定理：
若元难频选f(x)任意阶可导，且f随热结等继另阶(x)于x=0处的展开免灯式为f(x)=f(0)+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n+o(x^n)
那么f'(x)在x=0处有展开式f'(x)=a1+2*a2*x+...+n*an*x^(n-1)+o(x^(n-1))
这个定理类似于后面幂级数的“逐项率耐换节抗很源永况清求导”性质，但又不完全相同，证明也不涉及幂级数的知识班植高历。是一个求泰勒展开式很好用的公传念百洲吧式。
有了上面的准备，实际上故为参对单村我们只用求出题中f(x)前四帝贵革项的泰勒展式：
由cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+o(x^7)，得
f(x)=(cosx-1)/x^2=-1/2+x^2/4!-x^4/6!+o(x^5)
再由前面提到的定理：
g'(x)=f(x)=-1/2+x^2/4!-x^4/6!+o(x^5)
所以g(x)=g(0)-1/2*x+x^3/(3*4!)-x^5/(5*6!)+o(x^6)
（这里其实是把那个定理逆过来用了，可以这么理解：因为g(x)是任意阶可导的，所以它的（带Peano余项）的泰勒展式必定任意阶存在。把它写出来，然后g'(x)也有一个对应的形式。但是我们现在已经知道了g'(x)的展开式的形式，所以就可以推海张包肥它出g(x)的展开式的形式）
