leslie具体模型和Leslie矩阵

Leslie人口模型 因为男女人旅悄口的比例变化不大,在这个模型中仅考虑女性人口的发展变化,设Subscript[x, k](t)为第t年年龄为k的妇女人口数量，k=0,1,2,\[CenterEllipsis],100，即忽略百岁以上的人口。如果知道了第t年各年龄组的人口数，各年龄组人口的生育及死亡状态，就可以根据人口发展变化规律推得第t+1年各年龄组的人口数。 设k岁女性的生育率为Subscript[a, k]（即第k岁的每个女性在t年中平均生育的女婴数，Subscript[a, k]>=0，且Subscript[a, 0]，Subscript[a, 1]，Subscript[a, 2]，\[CenterEllipsis]，Subscript[a, 100]中至少有一个是正的）存活率为Subscript[b, k]（即k岁的女性经过一年后仍活着的人数与原人数之比，0\[Precedes]Subscript[b, k]\[Precedes]1，k=0，1，2，\[CenterEllipsis]，99）。第t+1年k+1岁的女性人数就是第k岁的女性人数扣除它在该年的死亡人数，即Subscript[x, k+1](t+1)=Subscript[b, k]Subscript[x, k](t)，故各年龄组人口随时间的变化规律可用递推公式Subscript[x, k+1](t+1)=Subscript[b, k]Subscript[x, k](t)(k=0,1,2,\[CenterEllipsis],99)来表示。再考虑到零岁的人数Subscript[x, 0](t+1)=\!\(\*UnderoverscriptBox["\[Sum]", RowBox[{StyleBox["k",FontSlant->"Plain"], "="塌团, "0"}], "100"]\(\*SubscriptBox["a", StyleBox["k",FontSlant->"Plain"]] \(\*SubscriptBox["x", StyleBox["k",FontSlant->"Plain"]](t)\)\)\)，其中Subscript[a, k]Subscript[x, k](t)，拆衫渣就是第t年岁k的妇女所生育的女婴数。由此得到的人口模型是\!\(\*TagBox[StyleBox[RowBox[{"{", StyleBox[GridBox[{{RowBox[{RowBox[{SubscriptBox["x", "0"], RowBox[{"(", RowBox[{"t", "+", "1"}], ")"}]}], "=", RowBox[{UnderoverscriptBox["\[Sum]", RowBox[{"k", "=", "0"}], "100"], RowBox[{SubscriptBox["a", "k"], SubscriptBox["x", "k"], RowBox[{"(", "t", ")"}]}]}]}]},{RowBox[{RowBox[{SubscriptBox["x", RowBox[{"k", "+", "1"}]], RowBox[{"(", RowBox[{"t", "+", "1"}], ")"}]}], "=", RowBox[{SubscriptBox["b", "k"], SubscriptBox["x", "k"], RowBox[{"(", "t", ")"}], " "}]}]}}],ShowAutoStyles->True]}],ShowAutoStyles->False],#& ]\) k = 0, 1, 2, 99 (5)根据人的生理特征和人口学中的习惯，妇女的育龄区间一般取为15岁至49岁，即当k\[Precedes]15和k\[Succeeds]50时，Subscript[a, k]=0令x (t) = (Subscript[x, 0] (t), Subscript[x, 1] (t), \[CenterEllipsis], Subscript[x, 100] (t))^TL = ( { {Subscript[a, 0], Subscript[a, 1], Subscript[a, 2], \[CenterEllipsis], Subscript[a, 99], Subscript[a, 100]}, {Subscript[b, 0], 0, 0, \[CenterEllipsis], 0, 0}, {0, Subscript[b, 1], 0, \[CenterEllipsis], 0, 0}, {\[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis], \\[CenterEllipsis], \[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis]}, {0, 0, 0, \[CenterEllipsis], Subscript[b, 99], 0} } )则人口模型（5）的矩阵形式为x (t + 1) = L x (t) (6)其中L称为莱斯利(Leslie)矩阵。当第Subscript[t, 0]年的人口状况已知时，从式（6）就可以推得第t年的人口为x (t) = L^(t - Subscript[t, 0]) x (Subscript[t, 0]) 为了更好地求Leslie人口模型的解，我们将对莱斯利(Leslie)矩阵进行研究。 定理1 矩阵L有唯一的正特征值Subscript[\[Lambda], 1]，它是特征方程的一个单根，Subscript[\[Lambda], 1]对应的特征向量为Subscript[X, 1] = (1, Subscript[b, 0]/Subscript[\[Lambda], 1], ( Subscript[b, 0] Subscript[b, 1])/\!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(2\)], \[CenterEllipsis], ( Subscript[b, 0] Subscript[b, 1] Subscript[\[CenterEllipsis]b, 99])/\!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(100\)])^T其每个分量都是正数。 事实上，令Subscript[A, 101] (\[Lambda]) = | \[Lambda]I - L |= | { {\[Lambda] - Subscript[a, 0], -Subscript[a, 1], -Subscript[a, 2], \[CenterEllipsis], -Subscript[a, 99], -Subscript[a, 100]}, {-Subscript[b, 0], \[Lambda], 0, \[CenterEllipsis], 0, 0}, {0, -Subscript[b, 1], \[Lambda], \[CenterEllipsis], 0, 0}, {\[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis], \\[CenterEllipsis], \[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis]}, {0, 0, 0, \[CenterEllipsis], -Subscript[b, 99], \[Lambda]} } |将上面的行列式按最后一列式展开得Subscript[A, 101] (\[Lambda]) = Subscript[\[Lambda]A, 100] (\[Lambda]) - Subscript[a, 100] Subscript[b, 0] Subscript[b, 1] Subscript[\[CenterEllipsis]b, 99]令Subscript[\[Beta], 101]=Subscript[a, 100]Subscript[b, 0] Subscript[b, 1] Subscript[\[CenterEllipsis]b, 99]，由于Subscript[a, i]>=0，Subscript[b, i]\[Succeeds]0，所以Subscript[\[Beta], i]>=0。于是可得Subscript[A, 101] (\[Lambda]) = Subscript[\[Lambda]A, 100] (\[Lambda]) - Subscript[\[Beta], 101] = \[Lambda] (Subscript[\[Lambda]A, 99] (\[Lambda]) - Subscript[\[Beta], 100]) - Subscript[\[Beta], 101]= \[CenterEllipsis]= \[Lambda]^101 - Subscript[\[Beta], 1] \[Lambda]^100 - Subscript[\[Beta], 2] \[Lambda]^99 - \[CenterEllipsis] - Subscript[\[Beta], 100] \[Lambda] - Subscript[\[Beta], 101]= \[Lambda]^101 (1 - Subscript[\[Beta], 1]/\[Lambda] - Subscript[\[Beta], 2]/\[Lambda]^2 - \[CenterEllipsis] - Subscript[\[Beta], 101]/\[Lambda]^101) (当\[Lambda] != 0)记q(\[Lambda])=Subscript[\[Beta], 1]/\[Lambda]+Subscript[\[Beta], 2]/\[Lambda]^2+\[CenterEllipsis]+Subscript[\[Beta], 101]/\[Lambda]^101，则\[Lambda]是L的非0特征值的充分必要条件为q (\[Lambda]) = 1 当\[Lambda]\[Succeeds]0时，因为Subscript[\[Beta], i]中至少有一个为正，所以q(\[Lambda])是严格递减的连续函数，由于\!\(\*UnderscriptBox["lim", RowBox[{"\[Lambda]", "\[Rule]", "\[Infinity]"}]]\)q (\[Lambda]) = 0, \!\(\*UnderscriptBox["lim", RowBox[{"\[Lambda]", "\[Rule]", "0"}]]\)q (\[Lambda]) = +\[Infinity]所以存在唯一的正数Subscript[\[Lambda], 1]使得q(Subscript[\[Lambda], 1])=1，于是Subscript[A, 101](Subscript[\[Lambda], 1])=0。因此Subscript[\[Lambda], 1]是矩阵L唯一的正特征值，下面证明Subscript[\[Lambda], 1]是单根。\!\(SubsuperscriptBox[\(A\), \(101\), \('\)] \((\*SubscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\)])\)\) = 101 \!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(100\)] - 100 Subscript[\[Beta], 1] \!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(99\)] - \[CenterEllipsis] - 2 Subscript[\[Beta], 99] Subscript[\[Lambda], 1] - Subscript[\[Beta], 100] = 101 \!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(100\)] (1 - ( 100 Subscript[\[Beta], 1])/(101 Subscript[\[Lambda], 1]) - ( 99 Subscript[\[Beta], 2])/(101 \!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(2\)]) - \[CenterEllipsis] - ( 2 Subscript[\[Beta], 99])/(101 \!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(99\)]) - Subscript[\[Beta], 100]/( 101 \!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(100\)]))因为(100 Subscript[\[Beta], 1])/(101 Subscript[\[Lambda], 1]) + ( 99 Subscript[\[Beta], 2])/(101 \!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(2\)]) + \[CenterEllipsis] + ( 2 Subscript[\[Beta], 99])/(101 \!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(99\)]) + Subscript[\[Beta], 100]/( 101 \!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(100\)])\[Precedes] Subscript[\[Beta], 1]/Subscript[\[Lambda], 1] + Subscript[\[Beta], 2]/\!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(2\)] + \[CenterEllipsis] + Subscript[\[Beta], 99]/\!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(99\)] + Subscript[\[Beta], 100]/\!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(100\)] + Subscript[\[Beta], 101]/\!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(101\)] = q (Subscript[\[Lambda], 1]) = 1所以\!\(SubsuperscriptBox[\(A\), \(101\), \('\)] \((\*SubscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\)])\)\)!=0，因此Subscript[\[Lambda], 1]为单跟。 解方程组(Subscript[\[Lambda], 1]I-L)X=0，容易得到Subscript[\[Lambda], 1]对应的特征向量。因为|Subscript[\[Lambda], 1]I-L|=0，且Subscript[b, i]\[Succeeds]0，i=0，1，2，\[CenterEllipsis]，99，特征矩阵( { {Subscript[\[Lambda], 1] - Subscript[a, 0], -Subscript[a, 1], -Subscript[a, 2], \[CenterEllipsis], -Subscript[a, 99], -Subscript[a, 100]}, {-Subscript[b, 0], Subscript[\[Lambda], 1], 0, \[CenterEllipsis], 0, 0}, {0, -Subscript[b, 1], Subscript[\[Lambda], 1], \[CenterEllipsis], 0, 0}, {\[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis], \\[CenterEllipsis], \[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis]}, {0, 0, 0, \[CenterEllipsis], -Subscript[b, 99], Subscript[\[Lambda], 1]} } )的后100行线性无关，故方程组(Subscript[\[Lambda], 1]I-L)X=0等价于( { {-Subscript[b, 0], Subscript[\[Lambda], 1], 0, \[CenterEllipsis], 0, 0}, {0, -Subscript[b, 1], Subscript[\[Lambda], 1], \[CenterEllipsis], 0, 0}, {\[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis], \\[CenterEllipsis], \[VerticalEllipsis], \[VerticalEllipsis]}, {0, 0, 0, \[CenterEllipsis], -Subscript[b, 99], Subscript[\[Lambda], 1]} } ) (\[NegativeThinSpace]{ {Subscript[x, 0]}, {Subscript[x, 1]}, {\[VerticalEllipsis]}, {Subscript[x, 100]} }\[NegativeThinSpace]) = (\[NegativeThinSpace]{ {0}, {0}, {\[VerticalEllipsis]}, {0} }\[NegativeThinSpace])由此可解得正特征向量Subscript[X, 1] = (1, Subscript[b, 0]/Subscript[\[Lambda], 1], ( Subscript[b, 0] Subscript[b, 1])/\!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(2\)], \[CenterEllipsis], ( Subscript[b, 0] Subscript[b, 1] Subscript[\[CenterEllipsis]b, 99])/\!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(100\)])^T 定理2 若Subscript[\[Lambda], 1]是矩阵L的正特征值，则L的任一特征值\[Lambda]都满足| \[Lambda] | <= Subscript[\[Lambda], 1] 满足定理1和定理2的正特征值Subscript[\[Lambda], 1]称为优势特征值。如果矩阵L的任一特征值\[Lambda]!=Subscript[\[Lambda], 1]均满足|\[Lambda]|\[Precedes]Subscript[\[Lambda], 1]，则称Subscript[\[Lambda], 1]为L的严格优势特征值。 定理3 若矩阵L的第一行中有两个相邻元素Subscript[a, i]、Subscript[a, i+1]都大于0，则L的正特征值是严格优势特征值。 定理4 若矩阵L有严格优势特征值Subscript[\[Lambda], 1]，对应于Subscript[\[Lambda], 1]的特征向量为X(Subscript[t, 0])，则\!\(\*UnderscriptBox["lim", RowBox[{"t", "\[Rule]", "\[Infinity]"}]]\)1/\!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(t - \*SubscriptBox[\(t\), \(0\)]\)] X (t) = C X (Subscript[t, 0])其中X(t)=L^(t-Subscript[t, 0])X(Subscript[t, 0])，C为某一个常数。 由定理4的结论可知，当t充分大时，有1/\!\*SubsuperscriptBox[\(\[Lambda]\), \(1\), \(t - \*SubscriptBox[\(t\), \(0\)]\)] X (t) \[TildeTilde] C X (Subscript[t, 0])即X (t) \[TildeTilde] \!\(\*SubsuperscriptBox[\(C\[Lambda]\), \(1\), \(t - \*SubscriptBox[\(t\), \(0\)]\)]\ X \((\*SubscriptBox[\(t\), \(0\)])\)\) = Subscript[\[Lambda], 1] (\!\(\*SubsuperscriptBox[\(C\[Lambda]\), \(1\), \(t - 1 - \*SubscriptBox[\(t\), \(0\)]\)]\ \*SubscriptBox[\(X\), \(1\)]\)) = Subscript[\[Lambda], 1] X (t - 1)所以当时间充分大时，年龄分布向量X(t)趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而个年龄段的人口数量近似地按Subscript[\[Lambda], 1]-1的比率增加。有上式可得如下结论： （1）当Subscript[\[Lambda], 1]\[Succeeds]1时，人口最终是递增的。 （2）当Subscript[\[Lambda], 1]\[Precedes]1时，人口最终是递减的。 （3）当Subscript[\[Lambda], 1]=1时，人口最终是稳定的。 如果Subscript[\[Lambda], 1]=1，即q(Subscript[\[Lambda], 1])=1，则有Subscript[a, 0] + Subscript[a, 1] Subscript[b, 0] + Subscript[a, 2] Subscript[b, 0] Subscript[b, 1] + \[CenterEllipsis] + Subscript[a, 100] Subscript[b, 0] Subscript[b, 1] Subscript[\[CenterEllipsis]b, 99] = 1记R = Subscript[a, 0] + Subscript[a, 1] Subscript[b, 0] + Subscript[a, 2] Subscript[b, 0] Subscript[b, 1] + \[CenterEllipsis] + Subscript[a, 100] Subscript[b, 0] Subscript[b, 1] Subscript[\[CenterEllipsis]b, 99]我们称R为净繁殖率。可以证明R表示每个女性一生中所生女婴的平均数。当R\[Succeeds]1时，人口递增；当R\[Precedes]1时，人口递减。