Simone
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB证明如图我们先来证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB在标准圆中.AB为直径.长度为1由圆的性质可知角ADB和角ACB为90度.另做一条垂直线CE于AD上.令角A为角BAC角B为角DAC则角(A-B)为角BAD证明如下:cos(A-B)=AD/AB=AD①cosA=AC/AB=AC②sinA=BC/AB=BC③cosB=AE/AC④sinB=CE/AC联立①③可知cosB=AE/cosA即cosAcosB=AE.所以要证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要证明AD=AE+sinAsinB又AD=AE+ED即只要证明sinAsinB=ED即可即要证明BC*CE/AC=ED即要证明CE/AC=ED/BC注意到三角形CEF相似于三角形BDF(三个角相同),则可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)所碧激以租慧汪要证明命题.只需要证明CE/AC=EF/CF注意到角ECF+角ECA=90度并且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度弊仔.可推出三角形AEC相似于三角形CEF即可以证明CE/AC=EF/CF即证明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB[attach]59733[/attach]由sinθ=cos(-θ)?得:sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)-β]?=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ?又∵cos(-α)=sinα?sin(-α)=cosα?∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
